标量曲率与体积的形变

在给定闭流形上单位体积度量空间中，总标量曲率泛函的驻点恰好是爱因斯坦度量。我们可以考虑修改后的问题：在标量曲率等于给定常数的度量空间中，寻找体积泛函的驻点。本文将该驻点满足的条件局部化到光滑有界区域上。该条件涉及静态方程的推广，我们从变分角度解释该方程的解（及其边界值）。在承载不满足该条件的度量的区域上，我们建立了一个局部形变定理，允许通过度量的紧支撑变化同时实现标量曲率和体积的微小预定改变。应用此结果，我们得到了一个保持总体积的常标量曲率度量的局部粘合定理。最后，我们指出，从Min-Oo猜想的反例（如Brendle-Marques-Neves的反例）出发，可以构造任意大体积和不同拓扑类型的反例。