关于双曲平面希尔伯特非浸入定理推广的相关结果

我们讨论了著名的希尔伯特定理的推广，该定理指出不存在将双曲平面等距浸入到三维欧几里得空间的完备浸入。我们表明，这个问题可以非常自然地表述为对称空间中反射子流形的某些相似变换的存在性问题。据此，我们得出结论：该定理可能推广的唯一其他（非紧）情形是：将双曲空间$H^n$等距浸入到欧几里得空间$E^{n+k}$（具有平坦法丛，$n \geq 2$）的问题，以及将$H^n$拉格朗日等距浸入到$\cc^n$（$n \geq 2$）的问题。此外，这些问题存在自然的紧对应情形；对于紧情形，我们证明该定理确实可以推广：局部嵌入存在，但完备浸入不存在。