单位立方子集内单形乘积的定量界

对每个 $1\leq i \le n$，令 $k_i\geq 1$，并令 $\Delta_i$ 为 $\mathbb{R}^{k_i+1}$ 中由 $k_i+1$ 个点构成的非退化单形的顶点集。若 $A\subseteq [0,1]^{k_1+1}\times \cdots \times [0,1]^{k_n+1}$ 是测度至少为 $\delta$ 的勒贝格可测集，我们证明存在长度至少为 $\exp(-\delta^{-C(\Delta_1,\ldots, \Delta_n)})$ 的区间 $I=I(\Delta_1,\ldots, \Delta_n,A)$，使得对每个 $\lambda\in I$，集合 $A$ 包含 $\Delta'_1\times \cdots \times \Delta'_n$，其中每个 $\Delta_i'$ 是 $\lambda\Delta_i$ 的等距拷贝。这是对 Lyall 和 Magyar 结果的定量改进。我们的证明依赖于调和分析。证明中的主要成分是类似于与 $n$-部 $n$-正则超图相关的多线性奇异积分的消去估计。