关于 Cusick 猜想中 Cantor 集之和的论述

1971 年，Cusick 证明了每个实数 $x\in[0,1]$ 可以表示为两个无部分商为 $1$ 的连分数的和。换言之，若定义集合 $$S(k):= \{ x\in[0,1] : a_n(x) \geq k \text{ 对所有 } n\in\mathbb{N} \}$$，则 $$S(2)+S(2) = [0,1].$$ 他还猜想，这一结果是独一无二的，即若排除部分商从 $1$ 到 $k-1$（其中 $k\geq3$），则能够表示为两个无部分商来自 $\{1,\ldots,k-1\}$ 的连分数之和的集合的 Lebesgue 测度 $\lambda$ 等于 $0$，即 $$\lambda\Bigl( S(k)+S(k) \Bigl)= 0 \text{ 对 }k\geq 3.$$ 在本文中，我们通过展示 $$S(k)+S(k) \supseteq \left[0,\frac{1}{k-1}\right]$$ 来否定 Cusick 的猜想。该证明是构造性的且不依赖于关于该主题的前期工作中的思想。我们还展示了 $S(k)+S(k)$ 中存在不可数多个“间隙”，即存在区间，其端点位于 $S(k)+S(k)$ 中，但其内部元素不位于其中。最后，我们证明了若干关于和 $S(m)+S(n)$ 的结果，其中 $m\neq n$。