西尔维斯特定理与某二项求和的非整数性

在本注记中，我们证明对于任一正整数$n$和$r\in \{1,2,3,4,5,6\}$以及$n\le r-1$，$S(n,r):=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\frac{k}{k+r}$均不为整数。这给出了[3]中一个猜想的部分答案。