二色零和广义 Schur 数的确定

考虑方程 $\mathcal{E}: x_1+ \cdots+x_{k-1} =x_{k}$，令 $k$ 和 $r$ 为满足 $r\mid k$ 的正整数。数 $S_{\mathfrak{z},2}(k;r)$ 定义为最小正整数 $t$，使得对任意 2-染色 $\chi: [1, t] \to \{0, 1\}$，存在方程 $\mathcal{E}$ 的解 $(\hat{x}_1, \hat{x}_2, \ldots, \hat{x}_k)$ 满足 $\displaystyle \sum_{i=1}^k\chi(\hat{x}_i) \equiv 0\pmod{r}$。在最近的一篇论文中，第一作者提出了确定 $S_{\mathfrak{z}, 2}(k;4)$ 精确值的问题。在本文中，我们解决了该问题，并更一般地证明了对于所有满足 $k>r$ 且 $r \mid k$ 的正整数 $k$ 和 $r$，有 $S_{\mathfrak{z}, 2}(k, r)=kr - 2r+1$。