图的 $t$-松弛 2-距离循环着色

设 $k$ 为正整数。对于 $\{0,1,\dots,k-1\}$ 中的任意两个整数 $i$ 和 $j$，令 $|i-j|_k=\min\{|i-j|,k-|i-j|\}$ 为 $i$ 和 $j$ 之间的循环距离。设 $t$ 为非负整数。假设 $f$ 是从 $V(G)$ 到 $\{0,1,\dots,k-1\}$ 的一个映射。如果相邻顶点接收不同的整数，并且对于 $G$ 的每个顶点 $u$，满足 $|f(u)-f(v)|_k=1$ 的 $u$ 的邻居 $v$ 的数量至多为 $t$，则 $f$ 被称为 $G$ 的一个 $t$-松弛 2-距离循环 $k$-着色，或简称为 $G$ 的一个 $(\frac{k}{2},t)^*$-着色。如果 $G$ 有一个 $(\frac{k}{2},t)^*$-着色，则称 $G$ 是 $(\frac{k}{2},t)^*$-可着色的。在本文中，我们证明，对于任意两个固定的整数 $k$ 和 $t$，其中 $k\geq2$ 且 $t\geq1$，判定 $G$ 是否是 $(\frac{k}{2},t)^*$-可着色的是 NP-完全的，除了 $k=2$ 的情形以及 $k=3$ 且 $t\leq3$ 的情形，这两种情形是多项式时间可解的。对于任意外平面图 $G$，我们证明所有外平面图都是 $(\frac{5}{2},4)^*$-可着色的，我们证明不存在固定的正整数 $t$ 使得所有外平面图都是 $(\frac{4}{2},t)^*$-可着色的。