避免具有特殊间隙的单色序列

对于正整数集 $S$ 以及固定的正整数 $k$ 与 $r$，记 $f(S,k;r)$ 为最小的正整数 $n$（若存在），使得对 $\{1,2,...,n\}$ 的任意 $r$-染色，必存在一个单色序列 $\{x_{1},x_{2},...,x_{k}\}$ 满足对 $2 \leq i \leq k$ 有 $x_{i}-x_{i-1} \in S$。我们考虑对于 $S$ 的多种选取下 $f(S,k;r)$ 的存在性，以及该函数上下界。特别地，我们证明当 $S$ 为素数集的奇平移且 $r=2$ 时，该函数对所有 $k$ 均存在。