包含与避免某些模式的着色排列

遵循 Mansour,令 $S_n^{(r)}$ 为符号 $1,2,...,n$ 带颜色 $1,2,...,r$ 的所有着色排列的集合,当 r=1 时它类比于对称群,当 r=2 时类比于超八面体群。令 $I\subseteq\{1,2,...,r\}$ 为 d 种颜色的子集;我们定义 $T_{k,r}^m(I)$ 为所有满足 $\phi_1=m^{(c)}$ 且 $c\in I$ 的着色排列 $\phi\in S_k^{(r)}$ 的集合。我们证明,在 $S_n^{(r)}$ 中避免 $T_{k,r}^m(I)$ 的着色排列数对于 $n\geq k$ 等于 $(k-1)!r^{k-1}\prod_{j=k}^n h_j$,其中 $h_j=(r-d)j+(k-1)d$。我们进而证明,对任意 $\phi\in T_{k,r}^1(I)$(或任意 $\phi\in T_{k,r}^k(I)$),在 $S_n^{(r)}$ 中避免 $T_{k,r}^1(I)$(或 $T_{k,r}^k(I)$)中所有模式除了 $\phi$ 且恰含一次 $\phi$ 的着色排列数,对于 $n\geq k$ 等于 $\prod_{j=k}^n h_j\cdot \sum_{j=k}^n \frac{1}{h_j}$。最后,对任意 $\phi\in T_{k,r}^m(I)$, $2\leq m\leq k-1$,该数对于 $n\geq k+1$ 等于 $\prod_{j=k+1}^n h_j$。这些结果推广了 Mansour 与 Simion 近来的结果。