关于某些线性方程的零和 $\ell$-广义Schur数的确定

设 $r$、$m$ 和 $k\geq 2$ 为正整数且满足 $r\mid k$，并设 $v \in \left[ 0,\lfloor \frac{k-1}{2r} \rfloor \right]$ 为任意整数。对任意整数 $\ell \in [1, k]$ 和 $\epsilon \in \{0,1\}$，令 $\mathcal{E}_{v}^{(\ell, \epsilon)}$ 为由 $\mathcal{E}_{v}^{(\ell, \epsilon)}: x_1 + \cdots + x_{k-(rv+\epsilon)} =x_{k-(rv+\epsilon-1)} +\cdots+ \ell x_{k}$ 定义的线性齐次方程。我们记数 $S_{\mathfrak{z},m}^{(\ell, \epsilon)}(k;r;v)$，其定义为最小正整数 $t$，使得对任意 $m$-染色 $\chi: [1, t] \to \{0, 1,\ldots,m-1\}$，存在方程 $\mathcal{E}_{v}^{(\ell,\epsilon)}$ 的解 $(\hat{x}_1, \hat{x}_2, \ldots, \hat{x}_k)$ 满足 $r$-零和条件，即 $\displaystyle\sum_{i=1}^k\chi(\hat{x}_i) \equiv 0\pmod{r}$。在本文中，我们完全确定了常数 $S_{\mathfrak{z}, 2}^{(k,1)}(k;r;0)$、$S_{\mathfrak{z}, m}^{(k-1,1)}(k;r;0)$、$S_{\mathfrak{z}, 2}^{(1,1)}(k;2;1)$ 和 $S_{\mathfrak{z}, r}^{(1,0)}(k;r;v)$。此外，我们证明了常数 $S_{\mathfrak{z},2}^{(2,1)}(k;2;0)$ 和 $S_{\mathfrak{z},2}^{(1,1)}(k;2;v)$ 的上界。