三元线性等式与线性不等式的 Erdős-Ginzburg-Ziv 型推广

对任意三元线性不等式 $\mathcal{L}$，我们确定（若存在）最小整数 $R(\mathcal{L}, \mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$，使得：对每个映射 $\chi :[1,n] \to \{0,1,2\}$，当 $n\geq R(\mathcal{L}, \mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ 时，存在 $\mathcal{L}$ 的解 $(x_1,x_2,x_3)\in [1,n]^3$ 满足 $\chi(x_1)+\chi(x_2)+\chi(x_3)\equiv 0$ (mod $3$)。此外，我们证明 $R(\mathcal{L}, \mathbb{Z}/3\mathbb{Z})=R(\mathcal{L}, 2)$，其中 $R(\mathcal{L}, 2)$ 表示经典的双色 Rado 数，即（若存在）最小整数使得对 $[1,n]$ 的每种 $2$ 染色，当 $n\geq R(\mathcal{L}, 2)$ 时存在 $\mathcal{L}$ 的单色解。由此，我们对所有在正整数中有解的三元线性不等式得到了 Erdős-Ginzburg-Ziv 型推广。我们也展示若干三元线性方程族 $\mathcal{L}$ 不接受此类 Erdős-Ginzburg-Ziv 型推广，即 $R(\mathcal{L}, \mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\neq R(\mathcal{L}, 2)$。文末提出一些问题。