关于 Caro 关于 $\mathbb{Z}_3$-Ramsey 树的数问题

设 $k$ 为正整数，$G$ 为图。零和Ramsey数 $R(G,\mathbb{Z}_k)$ 是最小整数 $N$（若存在），使得对于每一个边着色 $\chi \, : \, E(K_N) \, \rightarrow \, \mathbb{Z}_k$，都可以在 $K_N$ 中找到一个 $G$ 的复制品，使得 $\sum_{e \, \in \, E(G)}{\chi(e)} \, = \, 0$。2019年，Caro 关于树的 $\mathbb{Z}_3$-Ramsey数提出了一个猜想。本文解决了这一猜想，纠正了错误案例，并将结果扩展至林业。具体地，我们证明：\n\begin{equation*}\n R(F,\mathbb{Z}_3) = \left\{ \begin{array}{ll}\n n+2, & \text{if $F$ is $1 (\mathrm{mod}\, 3)$ regular or a star;}\\\n n+1, & \text{if $3 \nmid d(v)$ for every $v \in V(F)$ or $F$ has exactly one } \\\n \phantom{placeholder} & \text{vertex of degree $0 (\mathrm{mod}\, 3)$ and all others are 1 (\mathrm{mod}\, 3),} \\\n \phantom{placeholder} & \text{and F$is not$1 (\mathrm{mod}\, 3) regular or a star;}\\\n n, & \text{otherwise.} \end{array} \right.\n\end{equation*}\n其中 F$为任意具有$n$个顶点、$3\mid e(F)$ 且无孤立顶点的林。