Z 上的零和 K_m 与 K_4 的故事
组合数学
2017-09-01 v1
摘要
我们证明以下结果，解决了 [Y. Caro, R. Yuster, On zero-sum and almost zero-sum subgraphs over Z, Graphs Combin. 32 (2016), 49--63] 中提出的一个问题。对于正整数 m ≥ 2，m ≠ 4，存在无穷多个 n 值使得以下结论成立：存在一个权重函数 f: E(K_n) → {-1,1}（因而也存在权重函数 f: E(K_n) → {-1,0,1}），使得 ∑_{e∈E(K_n)} f(e) = 0，但对于 K_n 中 K_m 的每一个副本 H，均有 ∑_{e∈E(H)} f(e) ≠ 0。另一方面，对于每个整数 n ≥ 5 和每个权重函数 f: E(K_n) → {-1,1}，若满足 |∑_{e∈E(K_n)} f(e)| ≤ binom(n,2) - h(n)，其中当 n ≡ 0 (mod 4) 时 h(n) = 2(n+1)，当 n ≢ 0 (mod 4) 时 h(n) = 2n，则 K_n 中总存在一个 K_4 的副本 H 使得 ∑_{e∈E(H)} f(e) = 0，且 h(n) 的值是精确的。
引用
@article{arxiv.1708.09777,
title = {Zero-sum $K_m$ over $\mathbb{Z}$ and the story of $K_4$},
author = {Yair Caro and Adriana Hansberg and Amanda Montejano},
journal= {arXiv preprint arXiv:1708.09777},
year = {2017}
}