低权重完美匹配

回答 Caro、Hansberg、Lauri 和 Zarb 提出的一个问题，我们证明对每一个正整数 $n$ 以及每一个满足 $\sigma\left(E(K_{4n})\right)=0$ 的函数 $\sigma\colon E(K_{4n})\to\{-1,1\}$，在 $K_{4n}$ 中存在一个完美匹配 $M$ 使得 $\sigma(M)=0$。加强 Caro 和 Yuster 的一个结果，我们证明对每一个正整数 $n$ 以及每一个满足 $\left|\sigma\left(E(K_{4n})\right)\right|<n^2+11n+2$ 的函数 $\sigma\colon E(K_{4n})\to\{-1,1\}$，在 $K_{4n}$ 中存在一个完美匹配 $M$ 使得 $|\sigma(M)|\leq 2$。这两个结果均为最佳可能。