完美匹配集合的覆盖半径问题

考虑具有 $2n$ 个顶点的完全图 $K_{2n}$ 的所有完美匹配的族。给定任意大小为 $s$ 的完美匹配集合 $\mathcal M$，存在一个最大数 $f(n,x)$，使得如果 $s\leq f(n,x)$，则存在一个完美匹配，它与 $\mathcal M$ 中的每个完美匹配在最多 $x-1$ 条边上一致。我们使用概率论证给出了 $f(n,x)$ 的几个下界。我们还应用 Lov\'asz 局部引理找到了一个函数 $g(n,x)$，使得如果每条边出现最多 $g(n, x)$ 次，则存在一个完美匹配，它与 $\mathcal M$ 中的每个完美匹配在最多 $x-1$ 条边上一致。这是关于排列集合覆盖半径的极值结果的一个类比，该问题由 Cameron 和 Wanless（参见 \cite{cameron}）以及 Keevash 和 Ku（参见 \cite{ku}）研究。我们还以超图匹配中一个更一般问题的猜想作结。