多少匹配能覆盖图的节点？

给定无向图，是否存在 $k$ 个匹配，其并集覆盖所有节点，即一个 matching-$k$-cover？正如 Wang、Song 与 Yuan (Mathematical Programming, 2014) 已观察到的，从拟阵并可得一个首先的、简易的多项式解法。然而，无论就算法观点还是证明图论定理而言它都不令人满意，因为相应拟阵忽略了图的边。我们在此简单且算法化地证明：图的所有节点可被 $k\ge 2$ 个匹配覆盖，当且仅当对每个稳定集 $S$ 有 $|S|\le k\cdot|N(S)|$。当 $k=1$ 时出现例外：该条件不足以保证 matching-$1$-cover（即完美匹配）的存在；此时 Tutte 著名的匹配定理 (J. London Math. Soc., 1947) 给出了正确的“好”刻画。上述条件此时仅保证存在完美 $2$-匹配，这由 Tutte 的另一定理 (Proc. Amer. Math. Soc., 1953) 已知。一些结果随后作为推论以惊人简单的证明得出，仅用到二部匹配难度的水平。我们给出若干推广，以及对边权非负时的最小化解法，而 matching-$2$-covers 的边数最大化被证明已是 NP-hard。我们因称为“有向自组装”的技术制造集成电路所生模型的线图特例而遇到此问题。