乘法逆函数的更多和谐性研究

在两篇题为"几乎完美非线性的两个推广"和"关于 $\mathbb F_{2^n}$ 上哪些向量子空间上的乘法逆函数求和为零"的论文中，第一作者引入并研究了向量函数的和谐性概念，即函数在给定维数 $k\geq 2$ 的所有仿射子空间上的求和结果为非零值。他随后聚焦于乘法逆函数 $x\in \mathbb F_{2^n}\mapsto x^{2^n-2}$ 的第 $k$ 阶和谐性。给出了一些通用结果（特别是解决了不包含 0 的仿射空间的情况），以及 $k\in \{3,n-3\}$ 以及 $k$ 与 $n$ 互斥的情况（消极结果）；但那些维数 $k\in \![ 4;n-4]\!$、与 $n$ 互斥的线性子空间的情况仍未解决。本文是前一工作的延续。我们从两个不同角度研究那些在 Frobenius 自同构下稳定的线性子空间的情况，从第二个方法中推导出对于 $k$ 足够小（大约 $3\leq k\leq n/10$），乘法逆函数不具第 $k$ 阶和谐性。最后，我们扩展了前述第二篇论文中获得的结果，特别是对于任意偶数 $n$ 和每一个 $2\leq k\leq n-2$，乘法逆函数不具第 $k$ 阶和谐性。