有限域上仿射子空间在逆函数下的像

我们考虑函数 $x^{-1}$，它对有限域元素 $x \in \mathbb{F}_{p^n}$ 取逆（$p$ 为素数，$0^{-1} = 0$），以及 $\mathbb{F}_{p^n}$ 的仿射 $\mathbb{F}_{p}$-子空间，使得它们的像也是仿射子空间。我们证明：仿射子空间 $L$（$|L| > 2$）的像为仿射子空间当且仅当 $L = q \mathbb{F}_{p^k}$，其中 $q \in \mathbb{F}_{p^n}^{*}$ 且 $k \mid n$。换言之，它要么是 $\mathbb{F}_{p^n}$ 的子域，要么是由某个子域的所有元素乘以 $q$ 构成的子空间。这推广了 2006 年针对线性不变子空间所得的结果。作为推论，我们提出一个充分条件：对于可逆线性变换 $A: \mathbb{F}_{p^n} \to \mathbb{F}_{p^n}$ 和 $b \in \mathbb{F}_{p^n}^{*}$，函数 $A(x^{-1}) + b$ 没有基数满足 $2 < |U| < p^n$ 的不变仿射子空间 $U$。作为例子，我们展示了该条件对 AES 的 S 盒有效。此外，我们证明某些形如 $\alpha x^{-1} + b$ 的函数除 $\mathbb{F}_{p^n}$ 外没有不变仿射子空间，其中 $\alpha, b \in \mathbb{F}_{p^n}^{*}$ 且 $n$ 任意。