有限域的逆与子空间

设 $A$ 和 $B$ 为有限域中两个大小相同的 $F_q$-子空间，并令 $A^{-1}$ 表示 $A$ 中非零元素的逆所构成的集合。Mattarei 证明了仅当 $A$ 是一个子域，或者 $A$ 是某域二次扩张中迹为零的元素集合时，$A^{-1}$ 才可能包含于 $A$ 中。Csajb\'{o}k 将此结论 refine 为如下定量陈述：若 $A^{-1}\not\subseteq B$，则成立界 $|A^{-1}\cap B|\le 2|B|/q-2$。他还给出了示例，表明当 $|B|\le q^3$ 时该界是紧的。我们的主要结果是证明了对于 $|B|=q^d$ 且 $d>3$ 的情形，存在更强的界 $|A^{-1}\cap B|\le |B|/q\cdot\bigl(1+O_d(q^{-1/2})\bigr)$。我们还分类了所有在 Csajb\'{o}k 的界中取等号且满足 $|B|\le q^3$ 的示例。