Nagell定理的一个推广

设 $n$ 为正整数。1915年，Theisinger证明了若 $n\ge 2$，则第 $n$ 个调和和 $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$ 不是整数。设 $a$ 和 $b$ 为正整数。1923年，Nagell推广了Theisinger的定理，证明了若 $n\ge 2$，则倒数和 $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a+(k-1)b}$ 不是整数。1946年，Erd\H{o}s和Niven证明了一个类似性质的定理，指出使得 $1,1/2, ..., 1/n$ 的初等对称函数之一或多个为整数的整数 $n$ 只有有限个。本文给出Nagell定理的一个推广。事实上，我们证明对于任意 $n$ 个正整数 $s_1, ..., s_n$（不必互异，也不必单调），如下倒数幂和 $$\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{(a+(k-1)b)^{s_{k}}}$$ 若 $n\ge 2$ 则永远不是整数。我们结果的证明具有解析与 $p$-进特征。