等差数列元素倒数的初等对称函数

设 $a$ 和 $b$ 为正整数。1946 年，Erd\H{o}s 和 Niven 证明了使得 $1/b, 1/(a+b),..., 1/(an-a+b)$ 的一个或多个初等对称函数为整数的正整数 $n$ 只有有限个。在本文中，我们证明了对于任意满足 $1\le k\le n$ 的整数 $k$，$1/b, 1/(a+b),..., 1/(an-a+b)$ 的第 $k$ 个初等对称函数不是整数，除非 $b=n=k=1$ 且 $a\ge 1$，或者 $a=b=1, n=3$ 且 $k=2$。这一结果改进了 Erd\H{o}s-Niven 定理，并回答了 Chen 和 Tang 在 2012 年提出的一个公开问题。