论 Erd\H{o}s 与 Ingham 的问题

我们给出一个简洁而初等的论证，否定了 Erd\H{o}s 与 Ingham 的问题。Erd\H{o}s 与 Ingham 证明了一个塔伊布尔估计等价于 $1+\sum_{k}a_k^{-1-it}$ 对任意实数 $t$ 和任意序列 $1<a_1<a_2<\cdots$ 的正整数不为零，且满足 $\sum_k a_k^{-1}<\infty$。我们反驳了这一命题。事实上，我们证明对于任意复数 $\lambda$ 和任意非零实数 $t$，存在一个序列 $1<a_1<a_2<\cdots$ 的正整数，使得 $\sum_k a_k^{-1}<\infty$ 且 $\sum_k a_k^{-1-it} = \lambda$。