关于某些Erdős-Moser型方程的无解性

令$S_k(m):=\sum_{j=1}^{m-1}j^k$表示幂和。2011年，Kellner提出猜想：对于$m>3$，比值$S_k(m+1)/S_k(m)$从不为整数，或者等价地，对于任意正整数$a$，方程$aS_k(m)=m^k$在正整数$k$和$m$（$m>3$）中无解。在本文中，我们证明了对许多整数$a$，方程$aT_k(m)=(2m+1)^k$（其中$T_k(m):=\sum_{j=1}^m(2j-1)^k$）在正整数$k$和$m$中无解。这引导我们猜想：对于$m>1$，比值$T_k(m+1)/T_k(m)$从不为整数。