Stern 关于欧拉数同余式的推广

对于非零整数 $a$，令 ${E_n^{(a)}}$ 由 $\sum_{k=0}^{[n/2]}\binom n{2k}a^{2k}E_{n-2k}^{(a)}=(1-a)^n$ $(n=0,1,2,...)$ 给出，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。由于 $E_n^{(1)}=E_n$ 是欧拉数，$E_n^{(a)}$ 可视为欧拉数的推广。设 $k$ 和 $m$ 为正整数，$b$ 为非负整数。本文确定了当 $m\ge 5$ 时 $E_{2^mk+b}^{(a)}$ 模 $2^{m+10}$ 的值。对于 $m\ge 5$，我们还建立了 $U_{k\varphi{(5^m)}+b},\; E_{k\varphi{(5^m)}+b},\; S_{k\varphi{(5^m)}+b}\pmod{5^{m+5}}$ 以及 $S_{k\varphi{(3^m)}+b}\pmod{3^{m+5}}$ 的同余式，其中 $U_{2n}=E_{2n}^{(3/2)}$，$S_n=E_n^{(2)}$，$\varphi(n)$ 为欧拉函数。