Sárközy 与 Sós 关于表示函数的一个问题

对于 $m\geq 1$，令 $0<b_0<b_1<...<b_m$ 和 $\ e_0,e_1,...,e_m>0$ 为固定的正整数。假设存在一个素数 $p$ 和一个整数 $t>0$，使得 $p^t\mid b_0$，但 $p^t\nmid b_{i}$ 对于 $1\leq i\leq m$ 成立。那么，我们证明不存在正整数的无限子集 $\mathcal A$，使得方程 $$n=b_0(a_{0,1}+\cdot +a_{0,e_0})+...+b_m(a_{m,1}+...+a_{m,r_m}),\ a_{i,j}\in \mathcal A$$ 的解的个数对于充分大的 $n$ 是常数。这一结果推广了 Cilleruelo 和 Rué 最近关于双线性情形的结果，并回答了 Sárközy 和 Sós 提出的一个问题。