一类积分方程正解个数的研究

利用多项式的完全判别系统，我们研究 {\small $C[0,1]$} 中积分方程 {\small $\phi (x)=\int_0^1k(x,y)\phi ^n(y)dy$} 的正解个数，其中 {\small $k(x,y)=\phi_1(x)\phi_1(y)+\phi_2(x)\phi_2(y), \phi_i(x)>0, \phi_i(y)>0, 0<x,y<1, i=1,2,$} 是 {\small $[0,1]$} 上的连续函数，{\small $n$} 为正整数。我们证明如下结果：当 {\small $n= 1$} 时，在 {\small $C[0,1]$} 中要么不存在正解，要么存在无穷多个正解；当 {\small $n\geq 2$} 时，在 {\small $C[0,1]$} 中至少存在 {\small 1} 个、至多存在 {\small $n+1$} 个正解。我们导出了以下情形的充要条件：1) {\small $n= 1$} 时存在正解；2) {\small $n\geq 2$} 时恰存在 {\small $m(m\in \{1,2,...,n+1\})$} 个正解。我们的结果推广了文献中的已有结果，并通过本文给出的例子显示了其实用性。