关于满足 $\phi(n)=\frac{2}{3} \cdot (n+1)$ 的正整数 $n$

Erd\H{o}s 与 Graham Steinerberger 的一个特殊问题要求找出所有满足 $\phi(n)=\frac{2}{3} \cdot (n+1)$ 的整数。他发现解为 $n\in\{5, 5 \cdot 7, 5\cdot 7\cdot 37, 5\cdot 7\cdot 37\cdot 1297\}$，并发现任何额外解必须大于 $10^{10}$。他推测该问题不存在额外解。我们分析此问题并证明：*) 每个解 $n$ 必须是平方无关的。*) 如果 $p$ 和 $q$ 是解 $n$ 的素因数，则 $p\nmid (q-1)$。*) 除 Steinerberger 给定集合之外的任何解都必须至少有 7 个素因数。*) 对于任何额外解都有 $n\geq 10^{14}$。