支持埃尔多什-施特拉斯猜想的同余类 I：温顺解

1948 年，埃尔多什与施特拉斯提出了一个猜想：对于任意整数 $n>2$，存在正整数 $n_1,n_2,n_3$ 使得 \begin{equation}\frac{4}{n}=\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}+\frac{1}{n_3},\nonumber\end{equation} 该猜想至今仍未被证明。已知仅需证明形如 $n\equiv 1\;(\mbox{mod}\;24)$ 的素数 $n$ 即可。若 $n=24m+1$ 且 $n_1\leq n_2,n_3$，则 $n_1=6m+k$，其中 $1\leq k\leq 12m$。若解 $(n_1,n_2,n_3)$ 满足上述方程且 $n_2,n_3$ 为 $(6m+k)(24m+1)$ 的因子，则称为 {\it 温顺解}。我们称 $n=24m+1$ 为 {\it 野生} 若其无温顺解。计算机计算显示，在 $m\leq 30000$ 的 7185 个形如 $24m+1$ 的素数中，仅有九个为野生素数。本文我们推导了以若干同余类为参数化的 $24m+1$ 形式整数的温顺解。这些解覆盖了 $m\leq 2000$ 时形如 $24m+1$ 的 591 个素数中 586 个温顺素数的可解性。