关于 Erdős 的一个问题——Benelux 对的高效搜索

Erdős 曾提出寻找正整数 $m<n$ 的问题，要求 $m$ 和 $n$ 具有相同的素因子集合，$m+1$ 和 $n+1$ 具有相同的素因子集合，且 $m+2$ 和 $n+2$ 具有相同的素因子集合。目前尚无已知的此类整数。若放宽条件仅考虑前两个要求，则已知一个无穷级数解：对所有整数 $k\geq 2$，$m=2^k-2$，$n=(m+1)^2-1=2^k \cdot m$。此外还已知一个额外解：$m=75=3\cdot 5^2$ 和 $n=1215=3^5 \cdot 5$，其中 $m+1=76=2^2\cdot 19$ 且 $n+1=1216=2^6 \cdot 19$。此前对于 $n<2^{32}\approx 4.3\cdot 10^9$ 的范围内未发现其他解。在本文中，我们讨论了一种使用筛法和哈希技术搜索此类整数（也称为 Benelux 对）的高效算法。在现代消费级 GPU 上使用高度并行的算法，我们能够在一分钟的计算时间内验证迄今已知的结果。此外，我们将搜索空间扩大了 $2^{16}$ 倍以上，在 $1.4\cdot 10^{12}>2^{40}$ 的范围内未发现除上述无穷级数外的其他解。对于类似的问题，即寻找整数 $m<n$ 使得 $m$ 和 $n+1$ 具有相同的素因子集合且 $m+1$ 和 $n$ 具有相同的素因子集合，情况非常相似：已知一个无穷级数解和一个 $n\leq 2^{22}+2^{12}\approx 4.2\cdot 10^6$ 范围内的例外解。我们证明了在 $n<1.4\cdot 10^{12}$ 的范围内不存在其他例外解。