Moser 关于方程 1^k+2^k+...+(m-1)^k=m^k 的数学魔法工作

如果标题中的方程存在一个 $k\ge 2$ 的整数解，那么 $m>10^{10^6}$。Leo Moser 在 1953 年通过极其初等的方法证明了这一点。凭借 50 多年的后见之明，他的证明可以有所简化。我们给出了一个进一步的证明，表明 Moser 的结果可以从 von Staudt-Clausen 型定理推导出来。基于关于该方程的最新进展，我们利用数列 $2^{2e+1}+1$（$e=0,1,2,\ldots$）中数的可整除性质，推导出一个新结果。在最后一节中，我们证明了 Kellner 近期论文中出现的某些 Erdos-Moser 型方程可以完全求解。