离散立方体子集的加法能量

对于整数 $n \geq 2$，定义 $t_n$ 为使得任意子集 $A \subset \{0,1,\cdots,n-1\}^d$ 及其对应的加法能量 $E(A)$ 至多为 $|A|^{t_n}$ 的最小数。显然我们有 $t_n \leq 3$，并且通过考虑 $A = \{0,1,\cdots,n-1\}^d$ 可得 $$t_n \geq 3 - \log_n\frac{3n^3}{2n^3+n}$$ 在本短文中，我们研究 $t_n$ 对于大 $n$ 的行为，并获得以下非平凡界限：$$3 - (1+o_{n\rightarrow\infty}(1)) \log_n \frac{3\sqrt{3}}{4} \leq t_n \leq 3 - \log_n(1+c),$$ 其中 $c>0$ 为绝对常数。