关于度量泊松配对相关问题中的例外集

设 $\left(a_{n}\right)_{n}$ 为正整数的严格递增序列，记 $A_{N}=\left\{ a_{n}:\,n\leq N\right\}$ 为其截断，并令 $\alpha\in\left[0,1\right]$。我们证明，若 $A_{N}$ 的加性能量 $E\left(A_{N}\right)$ 属于 $\Omega\left(N^{3}\right)$，则对几乎每个 $\alpha$（在 Lebesgue 测度意义下），$\alpha a_{n}$ 的分数部分序列 $\left(\left\langle \alpha a_{n}\right\rangle \right)_{n}$ 不具有泊松配对相关 (PPC)。反之，已知对某个固定 $\varepsilon>0$，$E\left(A_{N}\right)=\mathcal{O}\left(N^{3-\varepsilon}\right)$ 蕴含 $\left(\left\langle \alpha a_{n}\right\rangle \right)_{n}$ 对几乎每个 $\alpha$ 具有 PPC。本注记对探究 $E\left(A_{N}\right)$ 蕴含该度量分布性质的能量阈值做出贡献。我们特别确立，存在序列 $\left(a_{n}\right)_{n}$ 满足 $$E\left(A_{N}\right)=\Theta\left(\frac{N^{3}}{\log\left(N\right)\log\left(\log N\right)}\right)$$ 使得 $\left(\alpha a_{n}\right)_{n}$ 不具有 PPC 的 $\alpha$ 集合具有满 Lebesgue 测度。此外，我们证明对任意固定 $\varepsilon>0$，存在序列 $\left(a_{n}\right)_{n}$ 满足 $E\left(A_{N}\right)=\Theta\left(\frac{N^{3}}{\log\left(N\right)\left(\log\log N\right)^{1+\varepsilon}}\right)$，使得序列 $\left(\bigl\langle\alpha a_{n}\bigr\rangle\right)_{n}$ 不具有 PPC 的 $\alpha$ 集合具有满 Hausdorff 维数。