度量对关联不存在 Khintchine 阈值

我们考虑形如 $\left(a_{n} \alpha\right)_{n}$ mod 1 的序列，其中 $\alpha\in\left[0,1\right]$，且 $\left(a_{n}\right)_{n}$ 为严格递增的正整数序列。若该序列的对关联渐近分布对几乎全体 $\alpha$（依 Lebesgue 测度意义）遵循 Poisson 模型，则称 $(a_n)_n$ 具有度量对关联性质。近期研究揭示了此类序列对关联的度量理论与 $(a_n)_{n}$ 截断的加性能量之间的联系。Bloom、Chow、Gafni 与 Walker 推测，可能存在一个收敛/发散判据，能像 Diophantine 逼近度量理论中的 Khintchine 判据那样，用加性能量完全刻画度量对关联性质。本文对这类推测给出否定回答，证明这样的判据并不存在。为此，我们构造了一个具有较大加性能量但却保持度量对关联性质的序列 $(a_n)_n$。