加性能与度量对关联问题中例外集的 Hausdorff 维数

对于整数序列 $\{a(x)\}_{x \geq 1}$，我们证明，如果序列截断的加性能相对于平凡估计具有幂次节省改进，则对于几乎所有 $\alpha$，$\{ \langle \alpha a(x) \rangle \}_{x \geq 1}$ 分数部分的配对关联分布渐近于泊松分布。此外，我们给出了例外集的 Hausdorff 维数作为序列密度与能量估计中幂次节省的函数的估计。这些结果的一个推论是，使得 $\{\langle \alpha x^d \rangle\}$ 不具有泊松配对关联的 $\alpha$ 构成之集合的 Hausdorff 维数至多为 $\frac{d+2}{d+3} < 1$。这加强了 Rudnick 和 Sarnak 关于例外集具有零 Lebesgue 测度的结果。另一方面，经典例子表明例外集的 Hausdorff 维数至少为 $\frac{2}{d+1}$。本文初稿完成后加入了由 Jean Bourgain 撰写的附录。在该附录中，解决了本文提出的两个问题。