一个配对相关问题，以及用 zeta 函数计数格点

配对相关是单位区间内序列的一种局部化统计量。关于该统计量表现出伪随机性质称为泊松行为。形如 $(a_n \alpha)_{n \geq 1}$ 的序列的配对相关的度量理论由 Rudnick、Sarnak 和 Zaharescu 开创。这里 $\alpha$ 是一个实参数，$(a_n)_{n \geq 1}$ 是一个整数序列，通常具有算术起源。最近，人们发展了一个通用框架，依据整数序列 $(a_n)_{n \geq 1}$ 的加性能量，给出此类序列对几乎所有实数 $\alpha$ 具有泊松配对相关的判别准则。在本文中，我们针对 $(a_n)_{n \geq 1}$ 为实数序列而非整数序列的情形发展了类似框架，从而推进了 Rudnick 和 Technau 最近开创的研究路线。作为我们方法的应用，我们证明了对每个实数 $\theta>1$，序列 $(n^\theta \alpha)_{n \geq 1}$ 对几乎所有 $\alpha \in \mathbb{R}$ 具有泊松配对相关。