差集与小间隙的度量理论
数论
2021-08-09 v2 组合数学
摘要
设 为互异正整数序列。在最近一篇论文中，Rudnick 对 当 时的最小间隙建立了渐近上界，该上界对 Lebesgue-几乎处处的 成立，并以 的加性能量表述。本文中我们论证此类序列最小间隙的度量理论并非由加性能量控制，而是由 的差集基数控制。我们建立了关于最小间隙典型渐近阶的（复杂）尖锐收敛/发散判别法，并证明（稍弱的）一般上下界以便直接应用。这些结果的一个主要输入来自 Koukoulopoulos 与 Maynard 近期对 Duffin--Schaeffer 猜想的证明。我们表明我们的方法对差集具有相对较高密度的缓慢增长序列（如素数或平方数）给出非常精确的结果。此外，我们改进了 Blomer、Bourgain、Rudnick 与 Radziwill 关于矩形台球本征值谱中最小间隙阶的度量结果。
引用
@article{arxiv.2108.02227,
title = {Difference sets and the metric theory of small gaps},
author = {Christoph Aistleitner and Daniel El-Baz and Marc Munsch},
journal= {arXiv preprint arXiv:2108.02227},
year = {2021}
}