基本间隙的几何尺度

基本间隙猜想由Andrews和Clutterbuck于2011年证明，提供了凸集合在$\mathbb{R}^N$中第一、二个Dirichlet拉普拉斯特征值之差的直径相关下界。关于不等式刚性问题，Yau于1990年提出的疑问一直未解答。本文在刚性问题之外，进一步强化了Andrews-Clutterbuck不等式，通过几何方式量化基本间隙相对于直径的超出程度。证明依赖于基本间隙的局部变分解释，借助Payne-Weinberger方法的凸分区实现维度约化：结果源于结合新的锐化一维Schr"odinger特征值结果（带度量势）与对凸单元分区几何的深入分析。作为本方法的副产品，我们获得了凸集合在$\mathbb{R}^N$中第一个非平凡Neumann特征值的定量Payne-Weinberger不等式，从而证实了2007年Hang-Wang的猜想的更强版本。