模 1 小间隔内数的整数幂：基数间隙现象

本文研究 $\alpha \zeta^{n} \bmod 1$ 的分布，其中 $\alpha\neq 0,\zeta>1$ 为固定实数，$n$ 遍历正整数。记 $\Vert.\Vert$ 为到最近整数的距离。我们研究对于所有充分大的 $n$，$\alpha\zeta^{n}$ 均落在模 1 的指定小间隔内的情形，重点聚焦于 $\Vert\alpha \zeta^{n}\Vert \leq \epsilon$ 且 $\epsilon>0$ 较小的情况。我们特别关注所谓的基数间隙现象。例如，对于固定的 $\zeta>1$ 和较小的 $\epsilon>0$，使得对所有充分大的 $n$ 满足 $\Vert\alpha \zeta^{n}\Vert \leq \epsilon$ 的 $\alpha$ 值至多可数，而较大的 $\epsilon$ 则诱导一个不可数集。我们研究了发生该间隙的 $\epsilon$ 值。我们将特别关注 $\zeta>1$ 为代数数乃至有理数的情形。隐含地推导出了关于 Pisot 数和 Salem 数的结果，包括对 Mahler 的 $3/2$ 问题的部分贡献。我们也研究了固定 $\alpha\neq 0$ 时的类似问题。