具有小加法能量的序列的数方差

对于实值序列 $(x_n)_{n=1}^\infty$，记 $S_N(\ell)$ 为其前 $N$ 个小数部分落在大小为 $\ell:=L/N$ 的随机区间内的个数，其中当 $N\to\infty$ 时 $L=o(N)$。我们研究形如 $x_n=\alpha a_n$ 的序列的 $S_N(\ell)$ 的方差（数方差），其中 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 是互异整数序列。我们证明，如果序列 $(a_n)_{n=1}^\infty$ 的加法能量由上界 $N^{5/2-\varepsilon}/L$（对某 $\varepsilon>0$）限制，则对几乎所有 $\alpha$，数方差渐近于 $L$（泊松数方差）。这尤其对序列 $x_n=\alpha n^d, d\ge 2$ 在 $L=N^{\beta}$ 且 $0\le\beta<1/2$ 时成立。