相对于集族的集合映射的自由集

给定 $\{1,\ldots,m\}$ 的一个子集族 $\mathcal{F}$，我们尝试计算最小的自然数 $n$，使得对于每一个函数 $S:[\aleph_n]^{<\omega}\longrightarrow [\aleph_n]^{<\omega}$，存在一个双射 $u:\{1,\ldots,m\}\longrightarrow Y\subset \aleph_n$，满足对于所有的 $A\in\mathcal{F}$，有 $Su(A)\cap Y \subset u(A)$。