$\mathbb{R}^d$ 中有限集上所定义函数的分解

有限子集 $M \subset \mathbb{R}^d$ 称为基本的（basic），如果对任意函数 $f \colon M \to \mathbb{R}$，存在一组函数 $f_1, \ldots, f_d \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，使得对每个元素 $(x_1, \ldots, x_d)\in M$ 都有 $f(x_1, \ldots, x_d) = f_1(x_1) + \ldots + f_d(x_d)$。对于某些有限集，我们证明了一个集合为基本集的判别准则，并说明该准则不能推广到一般情形。此外，我们用双加权图（doubly-weighted graphs）解释了上述准则，并对某些基本与非基本子集的元素个数给出了估计。