次可加、单调与凸函数的推广

设 $I\subseteq{\mathbb{R_+}}$ 为一个非空且非单点区间，其中 ${\mathbb{R_+}}$ 表示所有非负数的集合。若函数 $\Phi: I\to {\mathbb{R_+}}$ 满足：对任意 $x,y$ 且 $x+y\in I$，有不等式 $$\Phi(x+y)\leq \Phi(x)+\Phi(y).$$ 则称其为次可加的。本文将这种通常的1阶次可加性概念推广到任意阶 $n$（其中 $n\in{\mathbb{N}}$）。我们证明，一个 $n$ 阶次可加函数的 $n$ 次根具有通常的次可加性。我们还引入了近似次可加函数的概念，并证明其可分解为一个次可加函数与一个有界函数的代数和。另一个新引入的重要概念是周期单调性。若函数 $f:I\to{\mathbb{R}}$ 满足：存在周期 $d>0$，使得对所有 $x,y\in I$ 且 $y-x\geq d$ 有 $$f(x)\leq f(y)\qquad\mbox{成立},$$ 则称其为周期 $d$ 单调的。所得结果之一为：在 $f$ 的极小假设下，此类函数可分解为一个单调函数与一个周期为 $d$ 的周期函数之和。在本文末尾，我们讨论了星凸性。若函数 $f: I\to{\mathbb{R}}$ 满足：存在点 $p\in I$，使得对任意 $x\in I$ 及所有 $t\in [0,1]$，满足以下任一条件 $$t(x,f(x)) +(1-t)(p,f(p))\in epi(f) \quad \mbox{或} \quad hypo(f).$$ 则称其为星凸的。我们研究了其结构性质，并给出了它与星凸体的关系。