$\mathbb R^n$ 中非平坦连续体上界有界的加性与凸函数的连续性

我们证明对于连续体 $K\subset \mathbb R^n$，$n$ 个 $K$ 的副本之和 $K^{+n}$ 在 $\mathbb R^n$ 中具有非空内部，当且仅当 $K$ 非平坦，即 $K$ 的仿射包等于 $\mathbb R^n$。此外，若 $K$ 局部连通且 $K$ 的每个非空开子集均非平坦，则对任一（解析）非贫集 $A\subset K$，$n$ 个 $A$ 的副本之和 $A^{+n}$ 在 $\mathbb R^n$ 中非贫（进而 $2n$ 个解析集 $A$ 的副本之和 $A^{+2n}$ 在 $\mathbb R^n$ 中具有非空内部，且集合 $(A-A)^{+n}$ 是 $\mathbb R^n$ 中零点的邻域）。这意味着定义于开凸子集 $D\subset\mathbb R^n$ 上的中点凸函数 $f:D\to\mathbb R$ 若其在 $D$ 中某非平坦连续体上或 $D$ 中局部连通无处平坦子集的非贫解析子集上界有界，则连续。