生成族的余数

度量空间 $M$ 的拓扑由其子集族 $\mathcal{C}$ 生成，当且仅当集合 $A\subseteq M$ 在 $M$ 中为闭集，当且仅当 $A\cap C$ 对每个 $C\in \mathcal{C}$ 在 $C$ 中为闭集。生成族中收敛序列和紧子集的最小尺寸分别为顺序数 $\mathop{seq}(M)$ 和 $k$ 数 $\mathop{k}(M)$。设 $\mathfrak{b}$ 为在 $\omega^\omega$ 中模有限序下的最小不可数集的尺寸。对于基数 $\kappa$，覆盖数 $\mathop{cov}(\kappa)$ 为最小族的尺寸，该族由可数子集组成，使得 $\kappa$ 的每个可数子集都包含在族中的某个元素中。使用 Tukey 序关系，我们证明：(1) $\mathop{seq}(M)=\mathop{cov}(|M|)\cdot \mathfrak{b}$，除非 $M$ 在局部小（即 $M$ 的每个点都有一个大小严格小于 $|M|$ 的邻域）时，此时 $\mathop{seq}(M)=\lim_{\mu <|M|} \mathop{cov}(\mu)\cdot \mathfrak{b}$；(2) $k(M)$ 位于区间 $[kc(M)\cdot\mathfrak{b}, \mathop{cov}(kc(M))\cdot \mathfrak{b}]$ 之间，其中 $kc(M)$ 为覆盖 $M$ 的紧集数的最小值。由此推导出 van Douwen 关于解析空间和共分析空间 $k$ 数的问题的解。