关于一组滤子紧致的拓扑空间

如果 $\mathcal P$ 是某个集合 $I$ 上的一族滤子，若对于 $X$ 中元素构成的每个 $I$ 索引序列，都存在 $F \in \mathcal P$ 使得该序列拥有一个 $F$-极限点，则拓扑空间 $X$ 被称为\emph{逐序列 $\mathcal P$-紧致}。对于 $\mathcal P$ 的适当选择，可数紧致性、序列紧致性、初始 $\kappa$-紧致性、$[ \lambda ,\mu]$-紧致性以及 Menger 和 Rothberger 性质都可以用逐序列 $\mathcal P$-紧致性来表达。我们证明，当且仅当存在一个滤子 $F \in \mathcal P$ 使得逐序列 $\mathcal P$-紧致性等价于 $F$-紧致性时，逐序列 $\mathcal P$-紧致性在取乘积下保持不变。如果是这种情况，并且存在一个具有多于一个点的逐序列 $\mathcal P$-紧致 $T_1$ 拓扑空间，那么 $F$ 必然是一个超滤子。本文详细分析了序列紧致性和 $[ \lambda ,\mu]$-紧致性的特例。