关于次解析函数局部极值集合的研究

设 ${\mathfrak F}$ 为实解析流形上次解析子集的范畴，且对基本集合论运算和基本拓扑运算封闭。设 $M$ 为实解析流形，记 ${\mathfrak F}(M)$ 为 $M$ 中属于 ${\mathfrak F}$ 的子集族。设 $f:X\to{\mathbb R}$ 为子集 $X\in{\mathfrak F}(M)$ 上的次解析函数，使得 $f$ 下 ${\mathbb R}$ 中每个区间的原像属于 ${\mathfrak F}(M)$。设 ${\rm Max}(f)$ 为 $f$ 的局部极大值集合，并对每个 $\lambda\in{\mathbb R}$ 考虑 ${\rm Max}_\lambda(f):={\rm Max}(f)\cap\{f=\lambda\}$。如果 $f$ 是连续的，则 ${\rm Max}(f)=\bigsqcup_{\lambda\in{\mathbb R}}{\rm Max}_\lambda(f)\in{\mathfrak F}(M)$ 当且仅当族 $\{{\rm Max}_\lambda(f)\}_{\lambda\in{\mathbb R}}$ 在 $M$ 中局部有限。如果我们去掉连续性条件，存在次解析函数 $f:X\to M$ 使得 ${\rm Max}(f)\in{\mathfrak F}(M)$，但族 $\{{\rm Max}_\lambda(f)\}_{\lambda\in{\mathbb R}}$ 在 $M$ 中不是局部有限的，或者使得 ${\rm Max}(f)$ 是连通的但它甚至不是次解析的。如果 ${\mathfrak F}$ 是次解析集范畴且 $f:X\to{\mathbb R}$ 是次解析映射 $f$，将包含在 $X$ 中的 $M$ 的相对紧致子集映射到 ${\mathbb R}$ 的有界子集，则 ${\rm Max}(f)\in{\mathfrak F}(M)$ 且族 $\{{\rm Max}_\lambda(f)\}_{\lambda\in{\mathbb R}}$ 在 $M$ 中局部有限。如果范畴 ${\mathfrak F}$ 包含代数集与实解析子流形的交集，且 $X\in{\mathfrak F}(M)$ 在 $M$ 中不是闭集，则存在连续次解析函数 $f:X\to{\mathbb R}$，其图像属于 ${\mathfrak F}(M\times{\mathbb R})$，使得 $f$ 下 ${\mathbb R}$ 的区间的原像属于 ${\mathfrak F}(M)$，但 ${\rm Max}(f)$ 不属于 ${\mathfrak F}(M)$。