缩放系统中的次上同调与 Livsic 定理

在紧度量空间 $M$ 上的连续缩放系统 $f:M \to M$ 的框架下（此类系统包含非一致扩张系统，可能带有临界集且缩放集在 $M$ 中稠密），我们证明：对于任意 H"older 势 $\phi : M \to \mathbb{R}$，若对任一 $f$-不变概率测度 $\mu$ 均有积分 $\int \phi d\mu \geq 0$，则存在连续函数 $\lambda_{0} : M \to \mathbb{R}$（当某积分取正时可取为 H"older 函数）使得 $$\phi \geq \lambda_{0}- \lambda_{0} \circ f.$$ 这将文献 [9] 中关于圆周 $\mathbb{T} = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 上 $C^{1}$-扩张映射的结果推广至若干重要映射类，包括一致扩张映射、具有非一致扩张的局部微分同胚、Viana 映射、Benedicks-Carleson 映射与 Rovella 映射。我们还给出了指数收缩情形之外的一个例子。此外，若对任一 $f$-不变概率测度 $\mu$ 均有 $\int \phi d\mu = 0$ 且周期点集在 $M$ 中稠密，我们得到 Livsic 定理的一个版本，即函数 $\lambda_{0}$ 可取为满足 $$\phi = \lambda_{0}- \lambda_{0} \circ f.$$ 进一步地，我们还证明了使积分最大化的测度在一残集势函数下是唯一的。