对称算子迹的积分估计

设 $\Phi:TM\to TM$ 是定义在等距浸入到 Hadamard 空间 $\bar{M}$ 的完备非紧流形 $M$ 上的 $C^1$ 类半正定对称算子。本文给出了关于算子 $\Phi$ 和第二基本形式的条件，以保证 $\Phi\equiv 0$ 或者积分 $\int_M \mathrm{tr}\,\Phi dM$ 为无穷大。我们将给出一些应用。第一个应用指出，如果 $M$ 容许一个可积分布，且其积分为 $\bar{M}$ 中的极小子流形，那么 $M$ 的体积必为无穷大。另一个应用表明，如果 $\bar{M}$ 的截面曲率满足 $\bar{K}\leq -c^2$（对于某个 $c\geq 0$），且 $\lambda:M^m\to [0,\infty)$ 是一个非负 $C^1$ 函数，使得 $\lambda$ 的梯度向量与浸入的平均曲率向量 $H$ 满足 $|H+p\nabla \lambda|\leq (m-1)c \lambda$（对于某个 $p\geq 1$），那么要么 $\lambda\equiv 0$，要么积分 $\int_M \lambda^s dM$ 为无穷大（对于所有 $1\leq s\leq p$）。