因子中正规算子的交换子估计及其在导子上的应用

对于从属于von Neumann因子$\mathcal{M}$的正规可测算子$a$，我们证明：若$\mathcal{M}$为无限因子，则存在$\lambda_0\in \mathbb{C}$，使得对任意$\varepsilon>0$，存在$u_{\varepsilon}=u_{\varepsilon}^*$、$v_{\varepsilon}\in \mathcal{U}(\mathcal{M})$满足$$v_\varepsilon|[a,u_\varepsilon]|v_\varepsilon^*\geq(1-\varepsilon)(|a-\lambda_0\textbf{1}|+u_\varepsilon|a-\lambda_0\textbf{1}|u_\varepsilon).$$若$\mathcal{M}$为有限因子，则存在$\lambda_0\in\mathbb{C}$与$u,v\in\mathcal{U}(\mathcal{M})$满足$$v|[a,u]|v^*\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(|a-\lambda_0\textbf{1}|+u|a-\lambda_0\textbf{1}|u^*).$$这些界对无限因子、II$_1$-因子及某些I$_n$-因子是最优的。此外，对有限因子将$\|\cdot\|_{1}$-范数应用于该不等式，可给出与$a$相关的内导子$\delta_{a}:\mathcal{M}\to L_1(\mathcal{M},\tau)$的范数估计。虽然由[3,Theorem 1.1]已知对有限因子及自伴$a\in L_1(\mathcal{M},\tau)$有$\|\delta_{a}\|_{\mathcal{M}\to L_1(\mathcal{M},\tau)} = 2\min_{z\in \mathbb{C}}\|a-z\|_{1}$，我们给出有限因子$\mathcal{M}$与正规算子$a\in \mathcal{M}$的具体例子表明此式不成立。