von Neumann代数理想中算子函数的高阶导数

设 $\mathscr{M}$ 为von Neumann代数，$a$ 为与 $\mathscr{M}$ 相伴的自伴算子。我们定义 $\mathscr{M}$ 的“积分对称赋范理想”这一概念，并引入函数空间 $OC^{[k]}(\mathbb{R}) \subseteq C^k(\mathbb{R})$（$\mathbb{R} \to \mathbb{C}$），使得如下结果成立：对任意积分对称赋范理想 $\mathscr{I}$ 与任意 $f \in OC^{[k]}(\mathbb{R})$，算子函数 $\mathscr{I}_{\mathrm{sa}} \ni b \mapsto f(a+b)-f(a) \in \mathscr{I}$ 是 $k$ 次连续Fréchet可微的，且其导数公式可用多重算子积分表示。此外，我们证明若 $f \in \dot{B}_1^{1,\infty}(\mathbb{R}) \cap \dot{B}_1^{k,\infty}(\mathbb{R})$ 且 $f'$ 有界，则 $f \in OC^{[k]}(\mathbb{R})$。最后，我们证明下列理想均为积分对称赋范的：$\mathscr{M}$ 自身、可分离对称赋范理想、Schatten $p$-理想、紧算子理想，以及当 $\mathscr{M}$ 为半有限时由可测算子的完全对称空间诱导的理想。